Driehoek berekenen: oppervlakte, zijden en hoeken
WiskundeVul in wat je van de driehoek weet: drie zijden, twee zijden met de hoek ertussen, of een zijde met de twee hoeken eraan. De rekenmachine geeft de oppervlakte en vult alle zijden en hoeken aan.
Berekening stap voor stap
A = ½ × 4 × 5 × sin 36,8699° = 6
- Hoeken met de cosinusregel, bijvoorbeeld cos α = (b² + c² − a²) / (2 × b × c): α = 36,8699°, β = 53,1301° en γ = 90°. De driehoek is rechthoekig.
- Oppervlakte: A = ½ × 4 × 5 × sin 36,8699° = 6. Omtrek: 3 + 4 + 5 = 12.
- Hoogtes, h = 2 × A / zijde: op a 4, op b 3, op c 2,4.
Zodra alle waarden geldig zijn, zie je hier elke stap van de berekening.
Formule
- a, b, c
- zijden van de driehoek
- α, β, γ
- hoeken tegenover de zijden a, b en c, samen 180°
- A
- oppervlakte
- ha
- hoogte op zijde a: de loodrechte afstand van die zijde tot het hoekpunt ertegenover
Zo werkt de berekening
De bekendste formule voor de oppervlakte van een driehoek is basis × hoogte / 2. De hoogte is de loodrechte afstand van de basis tot het hoekpunt ertegenover. Een driehoek met een basis van 6 cm en een hoogte van 4 cm heeft dus een oppervlakte van 6 × 4 / 2 = 12 cm2. Deze rekenmachine vindt de oppervlakte ook als je de hoogte niet weet.
Drie goed gekozen gegevens leggen een driehoek vast. Met drie zijden berekent de rekenmachine de hoeken met de cosinusregel. Met twee zijden en de ingesloten hoek berekent ze eerst de derde zijde met dezelfde regel. Met één zijde en de twee hoeken eraan volgt de derde hoek uit de hoekensom van 180°, en geeft de sinusregel de andere twee zijden. Daarna volgen oppervlakte, omtrek en de drie hoogtes.
De namen zijn zoals op school: zijde a ligt tegenover hoek α, b tegenover β en c tegenover γ. Niet alle getallen vormen een driehoek: elke zijde moet korter zijn dan de andere twee samen, en twee hoeken samen moeten kleiner zijn dan 180°. Anders verschijnt er een melding. Bij een rechthoekige driehoek is de schuine zijde de langste zijde, tegenover de hoek van 90°. Voor een cirkel is er omtrek en oppervlakte van een cirkel, voor een rechthoekige vloer m2 berekenen.
Over de formule
De cosinusregel is een uitbreiding van de stelling van Pythagoras: is α een rechte hoek, dan is cos α nul en blijft a² = b² + c² over. De sinusregel zegt dat een zijde gedeeld door de sinus van de hoek ertegenover voor alle drie de zijden even groot is.
De rekenmachine berekent de oppervlakte uit twee zijden en de hoek ertussen, ½ × b × c × sin α. Dat is hetzelfde als basis × hoogte / 2, want c × sin α is precies de hoogte op zijde b. Hoeken zijn in graden; de oppervlakte is in de eenheid van de zijden in het kwadraat.
Rekenvoorbeeld
Een driehoek met zijden 3, 4 en 5
- Hoek γ met de cosinusregel: cos γ = (3² + 4² − 5²) / (2 × 3 × 4) = 0, dus γ = 90°. De driehoek is rechthoekig.
- Andere hoeken: α = 36,8699° en β = 53,1301°.
- Oppervlakte: A = ½ × 4 × 5 × sin α = 6, ook gelijk aan 3 × 4 / 2 met de twee rechthoekszijden. Omtrek: 12; hoogte op c: 2,4.
De driehoek met zijden 3, 4 en 5 heeft een oppervlakte van 6 en is rechthoekig.
Voorbeeld in de rekenmachine zettenVeelgestelde vragen
Hoe bereken je de oppervlakte van een driehoek?
Oppervlakte = basis × hoogte / 2. De hoogte staat loodrecht op de gekozen basis. Een driehoek met een basis van 6 cm en een hoogte van 4 cm is 6 × 4 / 2 = 12 cm2. Je deelt door 2 omdat de driehoek de helft is van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte.
Wat is de formule van een driehoek?
Voor de oppervlakte: basis × hoogte / 2. Voor de hoeken geldt dat ze samen altijd 180° zijn. Voor zijden en hoeken gebruik je de cosinusregel, a² = b² + c² − 2bc × cos α, en de sinusregel, a / sin α = b / sin β = c / sin γ. In een rechthoekige driehoek wordt de cosinusregel de stelling van Pythagoras.
Hoe bereken je een hoek van een driehoek?
Weet je twee hoeken, dan is de derde 180° min die twee: bij 50° en 60° is dat 70°. Weet je de drie zijden, dan gebruik je de cosinusregel: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc), en daarna de inverse cosinus. Kies "Drie zijden" en de rekenmachine doet dat voor alle drie de hoeken.
Hoe reken je uit hoeveel graden een hoek is?
In een driehoek met drie bekende zijden reken je de cosinus van de hoek uit met de cosinusregel en zoek je de hoek op met de inverse cosinus (cos⁻¹ op je rekenmachine). Bij zijden 3, 4 en 5 is cos γ = 0, dus γ = 90°. Een geodriehoek meet een getekende hoek direct.
Hoe bereken je de schuine zijde van een rechthoekige driehoek?
Met de stelling van Pythagoras: schuine zijde = √(a² + b²), met a en b de twee rechthoekszijden. Bij 3 en 4 is dat √(9 + 16) = 5. In deze rekenmachine kies je "Twee zijden en de hoek ertussen", vul je de twee rechthoekszijden in als b en c en hoek α = 90°; zijde a is dan de schuine zijde.
Hoe bereken je de oppervlakte van een driehoek met 3 zijden?
Met de formule van Heron: neem de halve omtrek s = (a + b + c) / 2 en reken A = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)). Bij zijden van 5, 6 en 7 cm is s = 9 en A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14,70 cm2. De keuze "Drie zijden" rekent dit direct uit.
Hoe bereken je een gelijkbenige driehoek?
De hoogte vanuit de top deelt de basis precies doormidden. Met een basis van 6 cm en twee benen van 5 cm is de hoogte √(5² − 3²) = 4 cm en de oppervlakte 6 × 4 / 2 = 12 cm2. In de rekenmachine kies je "Drie zijden" met 6, 5 en 5.
Waarom vormen de zijden 1, 2 en 3 geen driehoek?
Elke zijde moet korter zijn dan de andere twee samen: de driehoeksongelijkheid. Hier is 1 + 2 precies 3, dus de drie punten liggen op één lijn en de oppervlakte zou nul zijn.
- Driehoek (meetkunde) (Wikipedia)
- Sinusregel (Wikipedia)
- Formule van Heron (Wikipedia)
- Stelling van Pythagoras (Wikipedia)